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2021年士兵军校考试大纲《数学》考点:基本不等式

时间:2017-10-21 14:30 来源:未知 作者:-1 阅读:

2021年士兵军校考试大纲《数学》考点:基本不等式


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  基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式。其可表述为:两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算数平均数。

  公式:(当且仅当a=b时,等号成立)

  变形:

  (当且仅当a=b时,等号成立)

  算术证明

  如果a、b都为实数,(a-b)²≥0,所以a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立

  证明如下:

  ∵(a-b) 2≥0

  ∴a2+b2-2ab≥0

  ∴a2+b2≥2ab,即(a+b)2-2ab≥2ab,整理可得(a+b)2≥4ab,

  如果a、b都是正数,那么,当且仅当a=b时等号成立。(这个不等式也可理解为两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数,当且仅当a=b时等号成立。)

  几何证明

  在直角三角形ABC中,∠BAC为直角

  点D为BC的中点,AE为高,设BE=a,EC=b

  由射影定理得AE²=ab

  即AE= √ab, ①

  又由于三角形中斜边大于直角边,

  ∴AD>AE ②

  ∵AD=(a+b)/2 ③

  联合①②③得,当且仅当AD与AE重合,即a=b时等号成立。

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